Alguns teoremas e suas demonstrações

Aqui temos três
sentenças:




p: x é par (ou seja,
pode ser escrito na forma x = 2a, sendo a um número inteiro)

q: y é par (ou seja,
pode ser escrito na forma y = 2b, sendo b um número inteiro)

r: z = x + y é par (ou
seja, pode ser escrito na forma x = 2c, sendo c um número inteiro)




Podemos provar esse
teorema por um dos três métodos: direto, da contra positiva e pela
redução ao absurdo. Já que a questão pediu o método direto,
vamos começar por ele.




Método direto (o
que o professor fez em sala de aula): (p ^ q) → r




Substituindo x = 2a e y
= 2b em z = x + y, temos z = x + y = 2a + 2b = 2(a + b). Fazendo c =
a + b, temos que o número z pode ser escrito na forma z = 2c, o que
prova que ele é um número par.




Método da contra
positiva: ~ r → ~ (p ^ q), que equivale, pela lei de Morgan, a ~ r
→ ~ p v ~ q




Contra positiva: se um
número é ímpar, ele é formado pela soma de um número par e outro
ímpar




~ r: z = x + y é ímpar
(ou seja, pode ser escrito na forma x = 2c + 1, sendo c um número
inteiro)

~ p: x é ímpar (ou
seja, pode ser escrito na forma x = 2a + 1, sendo a um número
inteiro)

~ q: y é ímpar (ou
seja, pode ser escrito na forma y = 2b + 1, sendo b um número
inteiro)




Nesse caso, se z é
ímpar, temos dois casos: x é par e y é ímpar ou x é ímpar e y é
par. Vamos analisá-los:




1º caso: x é par e y
é ímpar. Então z = x + y = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1 → z é
ímpar.




2º caso: x é ímpar e
y é par. Então z = x + y = 2a + 1 + 2b = 2(a + b) + 1 → z é
ímpar.




Método da redução
ao absurdo: ((p ^ q) → ~ r) → r




Vamos supor que a soma
de dois números inteiros pares resulte em um número ímpar. Então
temos que: z = x + y = 2a + 2b = 2(a + b) → z é um número par, o
que é um absurdo. Portanto, conclui-se corretamente que a soma de
dois números pares é par.

Vide na resolução da
questão anterior a demonstração do mesmo teorema pelo método da
redução ao absurdo.

Vamos demonstrar esse
teorema pelo método direto.




Podemos escrever dois
inteiros consecutivos a e b como sendo a = n e b = n + 1. Assim,
temos:




ab = n(n + 1) = n^2 + n




Aqui temos dois casos:
a é par (e, consequentemente, b é ímpar) ou a é ímpar (e b é
par).




1º caso: a é par e b
é ímpar




Escrevendo a = n como n
= 2a, sendo a um número inteiro, temos n^2 + n = (2a)^2 + 2a = 4a^2
+ 2a = 2(2a^2 + a) → ab é um número par.




2º caso: a é ímpar e
b é par




Escrevendo a = n como n
= 2a + 1, sendo a um número inteiro, temos n^2 + n = (2a + 1)^2 + 2a
+ 1 = 4a^2 + 4a + 1 + 2a + 1 = 4a^2 + 6a + 2 = 2(2a^2 + 3a + 1) →
ab é um número par.




Como em ambos os casos
ab é par, concluímos corretamente que o produto de quaisquer dois
inteiros consecutivos é par.

Esse teorema também
pode ser escrito da seguinte forma: só existe um número primo par,
que é 2. Ele pode ser provado pelo método da redução ao absurdo.




Vamos supor que existe
um número primo par x diferente de 2. Se x é par, então ele pode
ser escrito na forma x = 2a, sendo a um número inteiro diferente de
1 (a não pode ser igual a 1, senão x = 2, e queremos encontrar um x
diferente de 2). Ora, x é divisível de 2, portanto ele não é
primo, o que é um absurdo. Conclui-se corretamente então que só
existe um número primo par, que é 2.

Vamos provar esse
teorema pelo método direto. Seja um número x ímpar que pode ser
escrito na forma x = 2a + 1, sendo a um número inteiro. Temos:




x^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2
+ 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1




Sabemos que o produto
n(n + 1) é um número par (vide resolução do exercício 9). Vamos
escrevê-lo na forma 2k, com k pertencente aos inteiros:




x^2 = 4.2k + 1 = 8k + 1

Aqui temos três
sentenças:




p: x é um número
inteiro tal que x = (m + 1)^3, com m pertencente ao conjunto dos
inteiros Z

q: y é um número
inteiro tal que x = (m)^3, com m pertencente ao conjunto dos inteiros
Z

r: z é um número
inteiro ímpar tal que z = x - y, podendo ser escrito na forma z = 2a
+ 1, sendo a um número inteiro




Vamos provar esse
teorema pelo método direto:




z = x - y = (m + 1)^3 –
m^3




(m + 1)^3 = (m + 1)(m +
1)^2 = (m + 1)(m^2 + 2m + 1) = m^3 + 2m^2 + m + m^2 + 2m + 1




Voltando ao cálculo
anterior: z = m^3 + 2m^2 + m + m^2 + 2m + 1 - m^3 = 3m^2 + 3m + 1 =
3m(m + 1) + 1




Sabemos que o produto
m(m + 1) é um número par (vide resolução do exercício 9). Vamos
escrevê-lo na forma 2k, com k pertencente aos inteiros:




z = 3.2k + 1 = 2(3k) +
1 → z é ímpar.